Boolean quadric polytopes are faces of linear ordering polytopes

Let PBQP(n) be a boolean quadric polytope, n ∈ N, PLO(m) — linear ordering polytope, m ∈ N. It is shown that PBQP(n) is linearly isomorphic to a face of PLO(2n). 1 Введение Булевы квадратичные многогранники PBQP(n), n ∈ N, возникают, в первую очередь, в контексте поиска эффективных решений для задачи квадратичного 0/1программирования, где n — число 0/1-переменных. Изучению их свойств, а также свойств аффинно эквивалентных им многогранников разрезов в настоящее время уделяется значительное внимание. Поисковая система scholar.google.ru сообщает о 889 цитированиях монографии Деза и Лоран [1], целиком посвященной этой теме. С оптимизационной задачей о линейном упорядочивании связаны многогранники линейных порядков. Они не столь популярны, как булевы квадратичные. Тем не менее, исследованию их свойств уделяется внимание в нескольких десятках публикаций (см., например, [2, 6], а также ссылки в них). В настоящее время известно [10], что булевы квадратичные многогранники аффинно эквивалентны граням многогранников, ассоциированных со следующими NPтрудными задачами комбинаторной оптимизации: задача коммивояжера, задача о рюкзаке, задачи о покрытиях и упаковках множества, задача о максимальной 3выполнимости, задача о 3-назначениях и многие другие. Известно также, многогранники любой линейной задачи комбинаторной оптимизации являются аффинными проекциями граней булевых квадратичных многогранников [7]. В частности, задача о линейном упорядочивании является линейной задачей комбинаторной оптимизации (но не благодаря «линейности» упорядочивания). Ниже будет показано, что между PBQP(n) и многогранниками линейных порядков PLO(m), где m — число упорядочиваемых элементов, имеется более тесная связь. А именно, PBQP(n) аффинно эквивалентен некоторой грани PLO(2n) для любого n ∈ N. ∗Supported by the State Assignment for Research in P.G. Demidov Yaroslavl State University, 1.5768.2017/P220. дата обращения: 20.04.2017